전체 글43 3-2 Determinant 목차 Determinant (행렬식) 개요 (Introduction) Determinant is a Set function Determinant 는 Set function이다. nxn 행렬이 모여있는 집합의 원소인 하나의 행렬에 실수(가 아니고 Complex number일수도 있음) 하나를 대응시키는 (real number일 경우) Real valued function이다. Determinant의 기하적 의미 (2, 3 dimensional view) 행렬식의 절댓값은, 2차원에선 두 벡터가 이루는 평행사변형이 되고, 3차원에서는 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피(triple product)가 된다. 그렇기 때문에 행렬식이 0이라는 것은 2차원에서는 두 벡터가 평행하여 평행사변형의 넓이가 0이 되는 것.. 2023. 3. 16. 3-2 Infinite potential well 목차 복습 양자역학 문제를 푸는 순서를 다시 한 번 정리해보자 Time independant Schrodinger Equation 을 풀어줘서 \( \psi(x) \)를 구해준다. \( \psi(x)\)를 이용해서 E를 구해주고 그것으로 \( \phi(t)\)를 구해준다. Initial condition과 orthogonality를 이용해서 계수 \( c_n\)을 구해준다. 1~3에서 구한 값을 종합하여 general solution \( \Psi(x,t)\)를 구해준다. 이것이 일반적인 과정이고, 만약 우리가 익히 알고있는 상황 3가지 (Infinite potential well, harmonic oscillator, hygrogen atom) 이라면 1과 2는 이미 알려진 형태의 값이 있으므로, 3단.. 2023. 3. 16. [3-1] 1-dimensional time dependant Schrödinger equation 목차 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 일반해 \(\Psi(x,t)\) (General solution)을 구하는 방법 What we can solve in QM 우리가 양자역학에서 완벽하게 풀수있는 문제는 고작 세개밖에 되지 않는다. 첫번째, 무한 퍼텐셜 우물 (Infinite potential well) 두번째, Harmonic oscillator 세번째, Hydrogen atom 앞으로 세가지에 대해 배워볼 것이다. 우선 그에 앞서 일반적으로 슈뢰딩거 방정식을 푸는 과정을 들여다보자. 변수분리법 .Separation of variables 변수분리법을 이용해 위치에 대한 식과 시간에 대한 식으로 해를 쪼개서 풀것이다. 모든 미분방정식이 변수분리법으로 풀리는 것은 아니지만, 슈뢰딩거 방정식은 효과적으로 풀리며.. 2023. 3. 14. [2-2] 운동량 연산자 유도하기, 불확정성 원리, 슈뢰딩거 방정식 유도 목차 Physical Quantity 양자역학의 물리량은 연산자의 기댓값이다 지난 시간에 했던 걸 다시 한번 짚고 넘어가겠다. 양자역학에서는 위치 x, 운동량 p, 운동에너지 T를 "연산자의 기댓값"으로 계산한다. 따라서 $$\left \langle \hat{x} \right \rangle = \int \Psi^* x \Psi dx$$ $$\left \langle \hat{p} \right \rangle = \int \Psi^* p \Psi dx \neq \int p\Psi^* \Psi dx $$ $$\left \langle \hat{T} \right \rangle = \left \langle \frac{\hat{p}^2}{2m} \right \rangle = - \frac{\hbar^2}{2m}\int.. 2023. 3. 14. [3-1] 벡터 Vector (2) 지난 시간에 이어 Vector 계산 법을 몇개 더 했다. 아주 기본적인 내용들이라 간략하게 적고 넘기겠다. Scala Product 와 Vector Product Scala Product : $$\vec{A} \cdot \vec{B} = scala$$ Vector Product : $$\vec{A} \times \vec{B} = vector$$ Scala product $$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z = scala =|A||B|cos(\theta)$$ 이므로, 벡터의 scala product로 두 벡터 사이의 각을 구할 수 있다. $$cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$$ 만.. 2023. 3. 13. [3-1] Inverse Matrix 목차 역행렬 Inverse Matrix 역행렬이 왜 필요한가? 우리가 연립 일차 방정식을 $Ax = b$ 꼴로 나타낼 때의 장점은 비단 손이 덜 아프다는 것만 있는 것이 아니다. 우리는 저런 간단하고 상징적인 포맷을 통해, 방정식의 해를 구하는 새로운 아이디어를 얻을 수 있다. 일반적인 간단한 방정식 $ax= b$ 는 양변에 $\frac{1}{a}$ 를 곱해서 $x = \frac{b}{a}$를 얻는데, 이때 $\frac{1}{a}$라는 수는, a에 곱해서 "곱셈의 항등원 1"을 만드는 수이다. 그렇다면 $Ax= b$ 꼴에서도, A의 행렬에 어떤 수를 곱해서, 행렬의 곱셈 항등원(Identity matrix)이 되도록 하면 구할 수 있지 않을까? 그 어떤 수를 바로 역행렬(Inverse matrix)이라고.. 2023. 3. 13. [1-1~2-2] Introduction to Analytical Mechanics Vector 차원분석 Dimensional Analysis 역학의 모든 물리량은 다음과 같은 세가지 요소로 나타낼 수 있다. Mass, Length, Time $$[M]^\alpha [L]^\beta [T]^\gamma$$ 예를 들어 힘 F = $[ma] = [kg] [\frac{m}{s^2}] = [M][L][T]^{-2}$ 차원이 틀리면 아예 틀린 식이다. 당연히 차원이 맞다고 해서 그 식이 맞는건 아니다. Scala and Vector 스칼라는 0차원의 실수+단위로, 좌표축에 독립적이다. 이에 반해 크기와 방향을 가진 벡터는 좌표축에 의존적이다. 복잡한 물리계의 행동을 묘사하는 가장 간단하고 우아한 방법이다. 벡터는 좌표에 의존하지만 물리 법칙은 좌표계에 의존적이지 않다. 벡터를 1차원 tensor.. 2023. 3. 12. [2-1/2-2] Discrete Distribution, pmf, moment, mgf 목차 Discrete Random Variable and Probability Distribution 이산확률변수와 확률 분포 현실 세계의 사건에 대해 확률을 계산하기 위해서는, 언어적이고 추상적인 사건을 구체적인 숫자에 대응시킬 무언가가 꼭 필요하다. 다시말해 사건 A가 일어날 확률을 계산하려면, 모든 사건은 일정한 규칙에 따라 각각 하나의 실수에 대응되어야 한다. 확률변수 X (Random variable) 란, 사건 A 에 대하여 임의의 실수 하나를 대응시켜주는 real-valued function을 의미한다. 사건 A가 일어날 확률은, 사건A에 대응되는 실수 X(A)가 집합 B에 포함될 확률로 구한다. $$P\left ( X\in B \right ) = P\left [ \left\{ \ s \in.. 2023. 3. 12. [2-1 , 2-2] Matrix 목차 Matrix Basics 행렬 A를 간단하게 i번째 행, j번째 열의 원소의 집합이라는 의미에서 다음과 같이 나타내기도 한다. $A = \left ( a_{ij} \right )$ 정의되는 연산들 덧셈 Addition : 사이즈가 같은 행렬만 가능 $ A + B = \sum (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$ 상수 곱 Scalar multiplication : $kA = \sum ka_{ij}$ 행렬 곱 Matrix multiplication : 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 곱이 정의된다. $$AB_{ij} = a_{i1}+b_{1j}+a_{i2}+b_{2j}+ ... + a_{ip}+b_{pj}=\sum_{k = 1}^{p}(a_{ik} b_{kj}) $$ .. 2023. 3. 12. 이전 1 2 3 4 5 다음
