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Math/선형대수학 Linear Algebra6

[4-2] Subspace, Linear combination, linearly independant 목차 Subspace 우리는 지난 시간에 Vector space 에 대해 배웠다. 어떤 \( \{ V,+,\cdot\}\) 가 K위의 벡터공간이라고 하는 것은, V 속의 임의의 벡터와 K의 임의의 상수에 대해, 10가지조건 (덧셈에 대해 닫혀있다, 상수곱에 대해 닫혀있다. 덧셈의 역원, 항등원이 존재한다. 곱셈의 항등원이 존재한다 등)을 만족시킨다는 뜻이라고 배웠다. 이번 시간에는 V의 부분집합(W)에 대해, 그것이 V로부터 같은 연산을 물려받아 정의된 \( \{ W,+,\cdot\}\)가 이 역시 K위에 정의된 Vector space인 경우에 대해 배울 것이다. 알아두어야 할 점은, \( \{ V,+,\cdot\}\)가 벡터공간이라고 V의 부분집합도 반드시 벡터공간인것은 아니라는 것이다. definit.. 2023. 3. 23.

[4-1] Crammer's Rule, Adjoint, Vector Space 목차 Crammer's Rule 설명 어떤 방정식 Ax = b에 대해서, 우리가 x의 j 번째 항이 궁금하다면, 아래를 계산하면 된다. \[ x_j det(A) = det(A')\] \( A' := \) j-th col is replaced with \(\vec(b)\) 여기서 det(A)가 0이 아니라면, 우리는 x_j를 구할 수 있다. 이는 다시말해 determinent가 0인 행렬은 역함수가 없다는 말과도 같다. 예시 문제 증명 EROs 들이 Determinent에 어떤 영향을 주는지를 숙지했다면 증명은 어렵지 않다. Ax 가 b와 같으므로, b를 Ax 로 치환한 후, A의 j번째 열에 대입한다. 대입된 Ax에서 j번째 성분을 제외한 나머지 항은 determinent의 값에 영향을 주지 못하므로 지.. 2023. 3. 20.

3-2 Determinant 목차 Determinant (행렬식) 개요 (Introduction) Determinant is a Set function Determinant 는 Set function이다. nxn 행렬이 모여있는 집합의 원소인 하나의 행렬에 실수(가 아니고 Complex number일수도 있음) 하나를 대응시키는 (real number일 경우) Real valued function이다. Determinant의 기하적 의미 (2, 3 dimensional view) 행렬식의 절댓값은, 2차원에선 두 벡터가 이루는 평행사변형이 되고, 3차원에서는 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피(triple product)가 된다. 그렇기 때문에 행렬식이 0이라는 것은 2차원에서는 두 벡터가 평행하여 평행사변형의 넓이가 0이 되는 것.. 2023. 3. 16.

[3-1] Inverse Matrix 목차 역행렬 Inverse Matrix 역행렬이 왜 필요한가? 우리가 연립 일차 방정식을 $Ax = b$ 꼴로 나타낼 때의 장점은 비단 손이 덜 아프다는 것만 있는 것이 아니다. 우리는 저런 간단하고 상징적인 포맷을 통해, 방정식의 해를 구하는 새로운 아이디어를 얻을 수 있다. 일반적인 간단한 방정식 $ax= b$ 는 양변에 $\frac{1}{a}$ 를 곱해서 $x = \frac{b}{a}$를 얻는데, 이때 $\frac{1}{a}$라는 수는, a에 곱해서 "곱셈의 항등원 1"을 만드는 수이다. 그렇다면 $Ax= b$ 꼴에서도, A의 행렬에 어떤 수를 곱해서, 행렬의 곱셈 항등원(Identity matrix)이 되도록 하면 구할 수 있지 않을까? 그 어떤 수를 바로 역행렬(Inverse matrix)이라고.. 2023. 3. 13.

[2-1 , 2-2] Matrix 목차 Matrix Basics 행렬 A를 간단하게 i번째 행, j번째 열의 원소의 집합이라는 의미에서 다음과 같이 나타내기도 한다. $A = \left ( a_{ij} \right )$ 정의되는 연산들 덧셈 Addition : 사이즈가 같은 행렬만 가능 $ A + B = \sum (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$ 상수 곱 Scalar multiplication : $kA = \sum ka_{ij}$ 행렬 곱 Matrix multiplication : 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 곱이 정의된다. $$AB_{ij} = a_{i1}+b_{1j}+a_{i2}+b_{2j}+ ... + a_{ip}+b_{pj}=\sum_{k = 1}^{p}(a_{ik} b_{kj}) $$ .. 2023. 3. 12.

[1-1,1-2] Introduction to Linear Algebra 목차 Introduction 선형대수학의 목적 What is the purpose of lin alg? linear algebra is aiming to solve a system of linear equation which its every variables are only one-dimensional degree. 선형 방정식을 어떻게 푸는가 how to solve a linear equation? speaking of a general approach to solve a n-variable linear equation, we can use "Guassian Elimination" which is consist of two main principles : (1) elimination and (2) b.. 2023. 3. 6.

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