[1-1~2-2] Introduction to Analytical Mechanics

Fowles 해석역학

Vector

차원분석 Dimensional Analysis

역학의 모든 물리량은 다음과 같은 세가지 요소로 나타낼 수 있다. Mass, Length, Time

$$[M]^\alpha [L]^\beta [T]^\gamma$$

예를 들어 힘 F = $[ma] = [kg] [\frac{m}{s^2}] = [M][L][T]^{-2}$

차원이 틀리면 아예 틀린 식이다. 당연히 차원이 맞다고 해서 그 식이 맞는건 아니다. 

Scala and Vector

스칼라는 0차원의 실수+단위로, 좌표축에 독립적이다. 이에 반해 크기와 방향을 가진 벡터는 좌표축에 의존적이다. 복잡한 물리계의 행동을 묘사하는 가장 간단하고 우아한 방법이다. 벡터는 좌표에 의존하지만 물리 법칙은 좌표계에 의존적이지 않다. 벡터를 1차원 tensor라고도 부른다. tensor는 물리학의 단골 손님이다. 

벡터를 물리학에 처음 도입한 건, 원운동을 해석하기 위함이었다. 속력이 일정하면서 움직임의 방향이 바뀌는 등속원운동을 가속도 운동의 범위에 포함시키기 위해선, 벡터의 개념이 필수적으로 도입되어야 했다. 아래 그림과 같이, 원운동의 임의의 지점으로부터 미소변위에 대하여, V벡터와 R벡터는 닮은꼴의 두 이등변 삼각형을 만들어낸다. 이에 대하여 닮음비를 적용해 비율 계산을 할 수있다. 

$$\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v \Delta r}{r}\frac{1}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}$$

좌표축 회전 

이건 3B1B의 영상을 참고하는게 훨씬 효과적으로 Linear Transformation 를 이해할 수 있다. https://youtu.be/kYB8IZa5AuE

회전 변환 행렬의 각 성분은, 원래 좌표계의 Basis가 변환을 통해 각각 어떻게 변하는지를 의미한다. 따라서 기본행렬은 그대로 있는것이다. 여기서 주의해야할 점은, 점의 회전과 좌표계의 회전은 정반대라는 점이다. 점을 평행이동하는 것과 좌표계를 평행이동하는 것은 정반대라는 것과 같다. 좌표축을 $\theta$ 만큼 돌린다는 건, 점의 입장에선 $-\theta$ 만큼 돌리는 것과 같다. 점을 theta만큼 돌리는 변환은

$$\begin{pmatrix}
cos(\theta) & -sin(\theta) \\ 
sin(\theta) & cos(\theta) 
\end{pmatrix}$$ 이다. 

따라서 좌표축을 $\theta$만큼 돌리는 변환은 $$\begin{pmatrix}
cos(\theta) & -sin(\theta) \\ 
sin(\theta) & cos(\theta) 
\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
cos(\theta) & sin(\theta) \\ 
-sin(\theta) & cos(\theta) 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
cos(\theta) & -sin(\theta) \\ 
sin(\theta) & cos(\theta) 
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 &0 \\ 
0 & 1
\end{pmatrix}$$

점의 회전과 좌표축의 회전에 대해 잘 정리된 블로그 글이 있어서 링크를 달아놓겠다. https://satlab.tistory.com/91

회전 변환 (점의 회전/좌표계의 회전) - 오일러 공식(Euler's Formula)