[3-1] 벡터 Vector (2)

지난 시간에 이어 Vector 계산 법을 몇개 더 했다. 아주 기본적인 내용들이라 간략하게 적고 넘기겠다. 

Scala Product 와 Vector Product

Scala Product : $$\vec{A} \cdot \vec{B}  = scala$$

Vector Product : $$\vec{A} \times \vec{B}  = vector$$

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Scala product 

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z  = scala =|A||B|cos(\theta)$$

이므로, 벡터의 scala product로 두 벡터 사이의 각을 구할 수 있다. 

$$cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$$

만약 두 벡터의 내적이 0 이라면, 두 벡터는 직교(Orthogonal)한다고 얘기한다.

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Projection 

Scala Product로부터 사영(Projection)의 개념을 이끌어 낼 수 있다. projection이란 한 벡터에서 다른 한 벡터와 평행한 성분만을 뽑아내는 행위로, 그림자를 내리는 행위와 같다. 

우리가 A 벡터를 $(A_x, A_y, A_z)$ 로 표현할 때, 각각의 성분은 A 벡터를 각각 x축, y축, z축으로 projection한 벡터이다. 

$$A_x = \vec{A} \cdot \hat{x}  = |A| |\hat{x}| cos(\theta) = |A| cos(\theta_x)$$

$$A_y = \vec{A} \cdot \hat{y}  = |A| |\hat{y}| cos(\theta) = |A| cos(\theta_y)$$

$$A_z = \vec{A} \cdot \hat{z}  = |A| |\hat{z}| cos(\theta) = |A| cos(\theta_z)$$ 

이며, 이때 $\theta_i$는 A벡터가 각 축과 이루는 각이다. 따라서

$$cos(\theta_i) = \frac{A_i}{|A|}$$ 이며 이를 "방향 코사인"이라 부른다.

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Vector Product

다른 말로 Cross Product 라고도 하는데,  두 벡터를 곱해 새로운 벡터를 내뱉는 연산이다. 

이때 새로운 벡터는 두 벡터의 오른손 방향으로 각각 수직이며, 그 크기는 $AB sin(\theta)$ 이다. 

$$C = \vec{A} \times \vec{B} $$

$$C \perp  A$$

$$ C \perp  B$$

$$ |C| = |A| |B| \sin(\theta) $$ 

외적의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같다. 증명이 궁금하면 알아서 찾아보시라.

외적에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않고 anti-commutative하다고 한다.

$$ \vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} $$ 

Vector Product는 Torque 돌림힘 등을 정의할 때 자주 쓰인다. $$\vec{\tau } = \vec{r} \times \vec{F}$$

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Triple Products

숙지해야할 Triple Product 들 

내 폰 배경화면이다. 하도 안 외워져서 배경화면으로 해두었다.

$$A \cdot(B \times C) = B \cdot(C \times A) = C \cdot (A \times B)$$

$$A\times (B\times C) = B(A\cdot C) - C(A\cdot B)$$ 그 유명한 백캡(BAC-CAB) 공식이다. 벡터 미분은 해석역학에선 잘 쓰이지 않고 전자기학에서 많이 쓰이는데, 외울때 한번에 외워두자. 

이렇게 빈 종이에 대고 암기해서 적어보는 연습을 할 필요가 있다.