[1-1,1-2] Introduction to Linear Algebra

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목차

Introduction 

선형대수학의 목적 What is the purpose of lin alg? 

linear algebra is aiming to solve a system of linear equation which its every variables are only one-dimensional degree. 

선형 방정식을 어떻게 푸는가 how to solve a linear equation? 

speaking of a general approach to solve a n-variable linear equation, we can use "Guassian Elimination"  which is consist of two main principles : (1) elimination and (2) back-substration. 

Elimination 

핵심은 두가지이다. "변수를 줄여가는 것" + "변수를 줄일 때, 해집합이 손상되지 않는 것"( first, we should note that during eliminating process, we need to guarantee that the solution set of the equation should be not harmed by our actions. it should be kept unchanged.)

Elementary Row Operation

해집합을 손상시키지 않으면서, 변수를 줄이기 위한 식 조작 방식이 3가지가 있고, 우리는 그걸 기본행연산(ERO)라고 부른다. (the skill set that we can use to eliminate the variables is called "Elimentary Row Operations (a.k.a EROs) There are three of operations in EROs. )

• Type 1. 행 순서 바꾸기 row exchange
• Type 2. 0이 아닌 수를 행에 곱하기 Non-zero scalar multiplicaiton 
• Type 3. 0이 아닌 수를 곱한 행을 다른 행에 더하기 Addition by a multiple of other row

Back Substitution 

Elimination으로 변수를 줄여서, 최종적으로 하나의 변수 값을 알아낸다면, 그 이후로는 그 변수의 값으로 다른 변수들의 값을 하나씩 역으로 계산해주는데, 이것을 Back Substitution 이라 부른다. 

Matrix

우리는 선형 방정식의 +와 = 가 별다른 역할을 하지 않으면서 숫자들의 자리지정 역할만 한다는 걸 알 수 있다. 그래서 우리는 선형 방정식의 숫자만 가져와 간단하게 방정식을 나타낼 수 있다. 이를 행렬이라 부른다. ("+" and "=" are only doing as a place holder, so we can easily describe the equation as using only number -> matrix )

Row Echelon Form

이렇게 방정식을 행렬로 바꾸어 Gaussian Elimination을 통해 해를 구하려고하면, 우리는 사다리꼴 형태의 행렬에 도달하는데, 그 형태를 REF (Row Echelon Form)이라 부른다. 어떤 행렬이 REF의 형태를 띄고 있느냐를 결정하는 조건은 다음과 같다. 

• (1) 성분이 0인 행은 가장 밑으로 보낸다. Every zero row is at the bottom of the matrix.
• (2) 모든 Leading entry는 좌에서 우로 정렬한다. Leading  entry란, 그 행에서 제일 처음으로 0이 아닌 성분을 의미한다. For a non-zero row, the leading entry is located at the left hand side of other leading entries of row in below. 

Existence of Solution of a linear equation 선형 방정식 해의 존재성 

REF에 도달하면, 우리는 그 방정식의 해가 있는지 없는지 / 있다면 무수히 많은지 하나인지 / 하나라면 그것이 무엇인지 알 수 있다. By getting the REF of a matrix, we can simply verify the presence of a solution of the matrix 

• 해가 없는 경우 (No solution) : 한 행의 Coefficient 성분이 전부 0인데, Augmented column의 성분이 0이 아닐때, $0\times x_1 + 0 \times x_2 + ... + 0 \times x_n = k ( k \neq  0) $ 
• 해가 무수히 많은 경우 : Free variable이 최소한 하나 이상 존재한다. 변수는 4개인데 식이 3개라면, 항상 그런 건 아니지만 무수히 많은 해가 존재할 가능성이 높다. 우리는 Free variable 의 개수를 Nullity라는 값으로 정의하는데, Nullity 가 N 일때 우리는 (N dimensional)-many solutions가 있다고 한다. 
• 해가 한 개 : 위 두 경우가 아니라면 해는 1개 존재한다. 

RREF (Reduced - REF)

RREF를 구해주면 leading entry와 free variable을 더욱 명확하게 볼 수 있다.  RREF를 구하는 과정을 Gaussian-Jordan 소거법이라고 부르는데, 가우시안 소거법과 대동소이하다. RREF의 정의는 아래와 같다. Reduced-Row Echelon Form(RREF) : we can modify the REF of a matrix to a RREF. 

• (1) 모든 leading entry가 1이다.every leading entry should be 1
• (2) leading entry 위 아래로 전부 0이다. every other coefficient of a column of leading entry should be 0 except for the leading entry. 

어떤 한 행렬의 RREF는 유일하다! REF 는 여러개 일 수 있다. Uniqueness of RREF : Any matrix has a unique RREF (REF is not unique)  

The dimension of solution 

Thm : 어떤 방정식의 해가 하나라도 존재한다면, 그 방정식의 해의 차원은 free variable의 개수와 같다.

만약 방정식의 우변 b term이 전부 0이라면, 항상 해가 존재하고 우린 이걸 Homogeneous하다고 하는데, 따라서 호모지니어스 방정식의 해의 차원은 free variable의 개수와 같다.  

이때 free variable의 개수를 Nullity라고 하고, Leading entry의 개수를 Rank 라고 한다. 

 $$Dimension\ of\ Equation A = Nullity = Number\ of\ free\ vars = n - Number\ of\: leading entry = n - Rank(A) $$

이때 중요한건,  Rank(A) 던지, Rank(A:b) 던지 상관없다는 것이다. 이게 왜그러냐면 만약 Rank(A)와 Rank(A:b) 가 다르다면 그건 무슨말이냐면 RREF의 마지막 row가 [0 0 0 0 0 0 : 1] 꼴이 된다는 것인데, 이렇게 된다면 해가 존재하지 않기 때문이다!