[4-2] Harmonic Oscillator in QM (Algebraic Method)

목차

고전역학의 조화진동자 (Harmonic oscillator in C.M.)

고전역학에서 조화진동자를 푸는 법

우리가 고전역학에서 구하고자 하는 것은, 어떤 시간에 존재하는 어떤물체의 위치  x(t) 이다. 이것을 알아내기 위해, 우리는 Newton's second law인 \( F = ma\) 를 푼다.

간단한 조화진동자 모델에서, F 는 -kx 이다. 변위에 용수철 상수를 곱한 값의 음수방향으로 힘이 작용한다. 뉴턴의 제 2법칙에 이를 대입해서 미분방정식을 풀수 있다. \[ F = ma \to -kx = ma = m\ddot{x} \to \ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0\]  여기서  \( k/m 을 \omega^2 \)으로 치환하면 \[ \ddot{x} + \omega^2 x = 0 \] 가 되고, 이 미분방정식의 일반 해는 \[ x = A cos(wt) + B sin(wt) \] 이다. 여기서 A와 B는 초기조건(initial condition) 으로 결정한다. 

다양한 Potential 을 조화진동자로 approximation한다. 

우리는 비단 단순한 용수철 뿐만 아니라, 일반적으로 Local minimum 을 갖는 모든 퍼텐셜에 대해 조화진동자 근사를 사용할 수 있다. V(x)을 Taylor Expansion하면 \[ V(x) = V(x_0) + V^{'}(x-x_0) + \frac{V^{''}(x-x_0)}{2!} + ...\]

위와 같이 퍼텐셜 V(x)을 Taylor Expansion할때, 퍼텐셜의 절대치는 의미 없으므로 첫째항 0으로 두고, 극솟값이니 미분값도 0이 되서 둘째 항도 0이 된다. 이에 따라 자연스레 셋째항 \(\frac{1}{2}V^{''}(x-x_0)^2\)이 남게 된다. 이것은 Hooke's law의 용수철의 퍼텐셜과 같은 형태이다. 따라서 다양한 상황에서 자주 쓰일 수 있으므로 조화진동자를 잘 푸는 것은 중요하다. 

양자역학의 조화진동자 (Harmonic oscillator in Q.M.)

양자역학에서 조화진동자 문제를 푸는 두가지 방법

양자역학에서는 \( \Psi(x,t)\)를 찾는 것이 목표이다. \[ \Psi(x,t) = \psi(x) \phi(t)\] 로 변수분리 할 수 있고, \( \psi(x)\) 는 TISE(시간독립슈뢰딩거 방정식)을 풀면 구할 수 있고, 뒤의 \( \phi(t)\) 는 Energy를 구하면 구할수 있는데, 에너지는 결국 \( \psi(x)\)를 구하면 알 수 있으므로, 결론적으로 TISE를 풀면 일반해를 구할 수 있게 된다. TISE를 간략하게 적으면 헤밀토니안을 구하는 것인데, \[\hat{H} \psi(x) = E \psi(x)\] 풀면 되는 것이고, 여기서 \( \hat{H} = K + V \) 이다. 

양자역학에서 진동자를 푸는 경우는 역시 V가 \( \frac{1}{2} kx^2\)로 주어지는 경우이다. 푸는 방법은 두가지인데, 첫번째 Algebrais method이고, 두번째 Analytical method이다. 이번엔 첫번째 방식에 대해 배울것이다. (두가지 방법 모두 chapter 4. angular momentum, coulomb potential에서 더욱 심도있게 다룬다.) 

Algebraic Method (ladder method)

commutator

Commutator란 양자역학에서 주어진 두 연산자에 대해 상호 순서를 바꿔 곱한 값을 빼준 형태로 정의된다. 예를 들어 위치연산자와 운동량 연산자 사이의  commutator 는 \[ [\hat{x},\hat{p}] = \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} \]이고, 이 값은 계산해보면 \( i \hbar\) 가 된다. 여기서 x연산자와 p연산자가 사이에 교환법칙이 성립되지 않으며 결국 commutator가 \(i \hbar \)의 값을 갖는 것을 두고 x와 p가 " Canonical commutation relation " 에 있다고 이야기한다.

Ladder operator

Ladder operator 는 두종류로 정의된다. raising operator와 lowering operator 인데, 이름이 이렇게 붙은 까닭은 이 operator를 취해준 파동함수에 대응되는 에너지가 hw 만큼 증가되거나 감소되기 때문인데, 자세한 내용은 뒤에 나온다. 

\[\hat{a}_+ = \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega}}(-i\hat{p} + mw\hat{x})\] 

\[ \hat{a}_- = \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega}}(i\hat{p} + mw\hat{x})\]

와 같이 정의한다. 여기서 w는 조화진동자에서 정의된 \(w = \sqrt(\frac{k}{m})\) 이다. 위의 operator  사이의 연산을 계산해보면 

\[\hat{a}_+ \hat{a}_- = \frac{1}{2m\hbar \omega}(i\hat{p} + mw\hat{x}) (-i\hat{p} + mw\hat{x}) \]

이다. 여기서 \[ \frac{1}{2m\hbar \omega}(i\hat{p} + mw\hat{x}) (-i\hat{p} + mw\hat{x})= \frac{1}{2m\hbar \omega}(\hat{p}^2+ (mw\hat{x})^2+imw\hat{p}\hat{x}-imw\hat{x}\hat{p})\] 이다. 

그런데 우리가 헤밀토니안 연산자를 보면, \[ \hat{H}= \frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}k\hat{x}^2 = \frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2=\frac{1}{2m\hbar \omega}(\hat{p}^2+ (mw\hat{x})^2)\]

이므로, 위의 식을 다시 정리하면, \[ \hat{a}_+ \hat{a}_-  =  \frac{\hat{H}}{\hbar \omega}-\frac{i}{2\hbar}(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}) = \frac{\hat{H}}{\hbar \omega}-\frac{i}{2\hbar}[\hat{x},\hat{p}]\]

여기서 x와 p에 대한 commutator를 가져와 표기했다. x,p커뮤테이터의 값은, \( i \hbar \) 이므로, \[ \hat{a}_+ \hat{a}_-  =  \frac{\hat{H}}{\hbar \omega}-\frac{i}{2\hbar}(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}) = \frac{\hat{H}}{\hbar \omega}-\frac{i}{2\hbar}[\hat{x},\hat{p}] =  \frac{\hat{H}}{\hbar \omega}+ \frac{1}{2}\] 가 된다. 

두 ladder operator를 반대 순서로 곱하면 , 뒤 상수의 부호만 반대가 된다. 따라서,

\[  \hat{a}_+ \hat{a}_-  =  \frac{\hat{H}}{\hbar \omega}+ \frac{1}{2}\]

\[ \hat{a}_- \hat{a}_+  =  \frac{\hat{H}}{\hbar \omega}- \frac{1}{2}\]

위의 식에서 아래식을 빼면 \[ \hat{a}_+ \hat{a}_- -  \hat{a}_- \hat{a}_+ = 1\]

따라서 우리는 헤밀토니안 연산자를 새로 정의해 줄 수 있다. \[ \hat{H} = \hbar \omega(\hat{a}_+ \hat{a}_- + \frac{1}{2}) = \hbar \omega(\hat{a}_- \hat{a}_+ - \frac{1}{2}) \] 이다. 

그러면 우리는 TISE 를 새롭게 적어줄 수 있다. \[ \hbar \omega(\hat{a}_+ \hat{a}_- + \frac{1}{2})\psi(x) = E\psi(x) \] 또는 \[\hbar \omega(\hat{a}_- \hat{a}_+ - \frac{1}{2}) \psi(x) = E\psi(x)\] 이다. 

ladder operator를 취해준 파동함수의 에너지

TISE 의 한 해 \( \psi(x) \)에 대하여, 이 파동함수에 대응되는 에너지가 E라고 한다면,  ladder operator를 취한 파동함수도 새로운 한 근이되고, 그때의 에너지는 아래와 같다. 

\[ \hat{H}(\hat{a}_+\psi(x)) = (E + \hbar \omega)\psi(x)\]

\[ \hat{H}(\hat{a}_- \psi(x)) = (E -\hbar \omega)\psi(x)  \]

이 이유는, 헤밀토니안과 ladder operator의 commutator 계산을 해보면 알 수 있다. \[[\hat{H} , \hat{a}_+]f(x)  = (\hat{H}\hat{a}_+ -\hat{a}_+\hat{H})f(x)\] 이고, 헤밀토니안 연산자를 ladder operator로 치환하면 \[= \hbar \omega (\hat{a}_+ \hat{a}_- + \frac{1}{2})\hat{a}_+f(x) - \hat{a}_+ \hbar \omega (\hat{a}_+ \hat{a}_- + \frac{1}{2})f(x)\] 이다. 

여기서 1/2 텀은 상쇄되므로 \[  \hbar \omega(\hat{a}_+\hat{a}_- \hat{a}_+ - \hat{a}_+\hat{a}_+ \hat{a}_-)f(x)\] 이고,  raising operator로 묶어주면 commutator의 곱의 차가 나온다. 우리는 이 값이 1이라는 것을 안다. \[  \hbar \omega \hat{a}_+(\hat{a}_- \hat{a}_+ - \hat{a}_+ \hat{a}_-)f(x) = \hbar \omega \hat{a}_+ f(x)\] 따라서, \[\hat{H}\hat{a}_+f(x) -\hat{a}_+\hat{H}f(x) = \hbar \omega \hat{a}_+ f(x)\] 이므로, \[ \hat{H}\hat{a}_+f(x) = \hbar \omega \hat{a}_+ f(x) + \hat{a}_+\hat{H}f(x) \] 이다. f(x)를 psi로 치환해주면 \[ \hat{H}(\hat{a}_+\psi(x)) = (\hbar \omega + E)\hat{a}_+\psi(x)  \] 이다. 

마찬가지로, \[ \hat{H}(\hat{a}_-\psi(x)) = (\hbar \omega - E)\hat{a}_-\psi(x) \] 이다. 

정리하자면, 

\[\hat{a}_+ = \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega}}(-i\hat{p} + mw\hat{x})\]

\[ \hat{a}_- = \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega}}(i\hat{p} + mw\hat{x})\]

ladder operator는 각각 위와 같이 정의되며, 이를 파동함수에 적용해준다는 것은 

\[ \hat{H}(\hat{a}_+\psi(x)) = (\hbar \omega + E)\hat{a}_+\psi(x) \] 

\[\hat{H}(\hat{a}_-\psi(x)) = (- \hbar \omega + E)\hat{a}_-\psi(x) \] 

각각의 state를 에너지가 \( \hbar \omega\) 만큼 높거나 낮은 state로 바꿔준다는 의미이다. 여기서 나오는 \(\hbar \omega\) 는 harmonic oscillator에서의 에너지의 최소단위이다.