지난 시간에 이어 Vector 계산 법을 몇개 더 했다. 아주 기본적인 내용들이라 간략하게 적고 넘기겠다.
Scala Product 와 Vector Product
Scala Product : →A⋅→B=scala
Vector Product : →A×→B=vector
Scala product
→A⋅→B=AxBx+AyBy+AzBz=scala=|A||B|cos(θ)
이므로, 벡터의 scala product로 두 벡터 사이의 각을 구할 수 있다.
cos(θ)=→A⋅→B|→A||→B|
만약 두 벡터의 내적이 0 이라면, 두 벡터는 직교Orthogonal한다고 얘기한다.
Projection
Scala Product로부터 사영Projection의 개념을 이끌어 낼 수 있다. projection이란 한 벡터에서 다른 한 벡터와 평행한 성분만을 뽑아내는 행위로, 그림자를 내리는 행위와 같다.
우리가 A 벡터를 (Ax,Ay,Az) 로 표현할 때, 각각의 성분은 A 벡터를 각각 x축, y축, z축으로 projection한 벡터이다.
Ax=→A⋅ˆx=|A||ˆx|cos(θ)=|A|cos(θx)
Ay=→A⋅ˆy=|A||ˆy|cos(θ)=|A|cos(θy)
Az=→A⋅ˆz=|A||ˆz|cos(θ)=|A|cos(θz)
이며, 이때 θi는 A벡터가 각 축과 이루는 각이다. 따라서
cos(θi)=Ai|A| 이며 이를 "방향 코사인"이라 부른다.
Vector Product
다른 말로 Cross Product 라고도 하는데, 두 벡터를 곱해 새로운 벡터를 내뱉는 연산이다.
이때 새로운 벡터는 두 벡터의 오른손 방향으로 각각 수직이며, 그 크기는 ABsin(θ) 이다.
C=→A×→B
C⊥A
C⊥B
|C|=|A||B|sin(θ)
외적의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같다. 증명이 궁금하면 알아서 찾아보시라.
외적에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않고 anti-commutative하다고 한다.
$$ \vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} $$
Vector Product는 Torque 돌림힘 등을 정의할 때 자주 쓰인다. →τ=→r×→F
Triple Products
숙지해야할 Triple Product 들

A⋅(B×C)=B⋅(C×A)=C⋅(A×B)
A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B) 그 유명한 백캡BAC−CAB 공식이다. 벡터 미분은 해석역학에선 잘 쓰이지 않고 전자기학에서 많이 쓰이는데, 외울때 한번에 외워두자.

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