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스타무크란(STAR MOOC)
스타무크는 DGIST를 비롯한 과학기술원(KAIST, GIST, UNIST)과 포스텍 UST 가 공동으로 운영하는 온라인 강의 시스템이다. 누구나 회원가입을 하면 과학기술원 강의를 무료로 수강할 수 있다.
나는 지난 한달 간 STAR MOOC 모니터링단 활동을 했는데, 주된 업무는 강의를 남들보다 먼저 수강하며 스크립트의 오탈자나 음성 sync가 잘 맞는지 등을 검토하는 역할이다. 베타테스터의 일종으로 보면 된다.
내가 수강한 과목은 DGIST 수학 교수님이신 한강진 교수님의 "연립 다항식의 풀이와 응용" 이다.
사실 이름만 보고서 처음에는 강의 난이도를 얕잡아 봤다. 다항식은 너무 친숙한 대상이고, 연립 다항식을 풀고 응용하는 건 중학생 때부터 질리도록 배운 거니까!
하지만 첫 강의를 들으면서부터 내 오만한 예상은 틀렸다는 것을 깨닫게 됐다. 군, 환, 체 의 정의에서 시작해서 밑바닥 부터 다항식에 대한 이해를 차근차근 쌓아나가는데, 내가 생각하던 연립 다항식은 아주 간단하고 좁은 영역에 한정되었다는 사실을 알게 되었다.
실제 우리가 다루게 될 연립 다항식의 세상은, 우리가 풀었던 1,2차 연립 방정식보다 훨씬 훨씬 넓고 심오하며, 그 시스템을 풀고(solve) 해집합을 분석(analysis)하는 방식 또한 심오하고 아름답다.
또한 연립다항식은 단항식의 결합이라는 단순한 특성에 기인해, 수학 뿐만 아니라 공학, 사회학, 경제학 등 다양한 분야에서 폭넓게 관찰되기 때문에, 연립다항식을 이해하는 것은 실용적으로도 도움이 된다.
이 강의에서는 연립 다항식의 풀이와 해집합에 대한 기하학적 분석 뿐만 아니라, 후반부에서는 내쉬 평형 등 연립 다항식이 관찰되는 실용적 모델에 대한 분석도 다룬다.
강의 전반에 대한 내용 소개를 이번 글에서 간략히 다루도록 하겠다.
다항식
다항식 (polynomial) 은 무엇인가? 단항식의 합으로 이루어진 식을 말한다.
그렇다면 단항식(monomial)은 무엇인가? 단항식은 \( x, y, x^2 , 5x^2 y z \) 이런식들을 말한다. 엄밀한 정의로는 0 이 아닌 \( \alpha \)에 대하여 다음과 같은 꼴로 나타내는 식을 말한다. \[ a_{\alpha} x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}x_3^{\alpha_3}...x_n^{\alpha_n}\]
그리고 다항식은 이 단항식들의 유한합으로 나타내진다. (여기서 무한하면 polynomial 이 아니라 series 가 된다.)
\[ \sum a_{\alpha} x^{\alpha}\]
이 다항식은 꼴이 매우 단순하여, 단순히 수학 뿐만 아니라 공학, 산업의 문제들에서 자주 발견된다. 따라서 다항식에 대한 연구는 실용적인 목적에서도 많이 이루어진다.
일변수 다항식 - 근의 공식
1~4차 방정식까지는 근의 공식이 있다.
근의 공식이 있다는 것은 방정식이 반드시 풀린다, 즉 반드시 해를 구할 수 있다는 것을 말한다.
그러나 5차 부터는 근의 공식이 없다. (아벨에 의해 증명)
근의 공식이 없다는 것은 방정식이 항상 풀리는 것은 아니라는 의미가 된다.
일반적으로 해는 무수히 많다
해가 무수히 많으면, 이 해집합을 기하학적(Geometric)으로 분석하는 것이 유리하다.
해의 존재성, 해의 유일성, 해를 구하는 법, 해집합의 구조 등을 기하학적으로 분석하는 방법을 배웠다.
다항식 해집합의 기하학적 구조
해의 존재성
해의 존재성은 다항방정식이 정의하는 Ideal (아이디얼) 이 전체 whole ring 이 되는지 아닌지를 판단해야 한다. ideal 은 어떤 다항식 집합 k[x1, ... , x2] 내에서 정의되는데, 집합 내 어떤 임의의 원소와 ideal 내의 원소를 곱했을때의 결과가 ideal 이 되도록 하는 다항식의 집합이다.
(추가 설명) 체와 환 (field and ring)
이 설명을 이해하기 위해서는 ring (환) 에 대한 이해가 있어야 하는데, ring이란 어떤 집합(set)과 덧셈과 곱셈이 정의되는 대수적 구조이다. 여기서 덧셈에 대해 결합법칙과 역원, 항등원이 존재해야 하고, 곱셈에 대해 항등원이 존재해야 한다. 곱셈에 대한 역원은 ring에서는 요구되지 않는다.
field(체)도 역시 두가지 연산인 덧셈과 곱셈이 정의되는 대수적 구조이다. 여기서 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원이 요구된다. 유리수, 실수, 복소수는 모두 링의 일종이지만, 정수는 체가 아니라 환이다. 왜냐하면 곱셉에 대한 역원이 정수 집합 내에 존재하지 않기 때문이다. 예를 들어 1에 2를 곱하면 2가 되지만, 2를 다시 1로 돌리기 위해 곱해야 하는 1/2 는 정수가 아니다.
해를 구하는 방법 - ideal 로의 접근
이런 다항식의 공통근을 구하는 문제를 다른 방식으로 접근 할 수 있다.
다항식이 이루는 ideal의 공통해집합과 다항식의 공통해집합은 같다는 성질을 이용한다.
여기서 우리는 그뢰브너 기저 (Grobner basis) 라는 개념을 배우게 된다.
그뢰브너 기저란 initial ideal을 생성할 수 있는 적당한 다항식의 집합을 말한다. 이때 initial ideal이란 어떤 ideal 과 monomial order < 가 정의될 때 ideal 내 모든 다항식의 최고차항들의 집합이다. 이때 그뢰브너 기저의 존재성은 Hilbert basis theorem에 의해 항상 존재한다.
그뢰브너 기저를 찾는 방법은, Ideal 내 임의의 다항식의 S-pair를 만들어 보면서 그것이 기존의 다항식으로 span 되는지 확인하고, span 되지 않으면 그 항을 추가한다. 이 과정을 더 이상 span되지 않는 항이 나오지 않을 때까지 무수히 반복하여 그뢰브너 기저를 구한다. 이때 S pair를 만들어내는 순서에는 규칙이 없으므로 그뢰브너 기저는 유일하지 않게 된다. 이 과정을 Buchberger's criterion이라고 한다. 자세한 내용은 강의 참고.
그뢰브너 기저는 항상 monomial order 에 의존한다. 우리가 일변수 다항식에서는 내림차순으로 쉽게 정의할 수 있었지만, 변수가 여러개일 경우 최고차항을 무엇으로 두느냐는 우리의 선택에 달렸기 때문이다.
단항식 순서 monomial order
세가지 단항식 순서가 존재한다.
- lexicographical ordering : 올림픽 메달 순서같이, 제일 중요한게 많으면 더 높은 차수이다. 예를 들어 \( x^3yz > x^2y^3z^3\)
- graded lexicographical ordering : 모든 지수를 더한 합이 크면 제일 크고, 같을 땐 lex 기준 적용
- graded reverse lexicographical ordering : 모든 지수를 더한 합이 크면 제일 크고, 같을 땐 제일 뒤 항의 지수가 클 수록 작다. 예를 들면 \( x^1y^3z^1 > x^2y^2z^2\)
해집합의 이해
연립방정식의 해를 이해하는 데 도움이 되는 component, primary decomposition의 개념을 배운다.
마무리
연립 방정식은 사회학, 경제학, 공학, 자연과학 등에서 자주 발견되는 중요한 수학적 대상이다.
다항식이 존재하는 모든 분야에서 이 강의에서 얻은 지식을 활용할 수 있으리라 기대한다.
분야에 상관없이, 누구나 기회가 된다면 들어보기를 추천한다.
P.S. 한강진 교수님은 내가 뽑은 디지스트 강의력 Top 5 안에 드는 교수님이다.
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